Question

20．如图，已知△ABC和△EBC是边长为2的正三角形，平面EBC⊥平 面ABC，AD⊥平面ABC，且$AD=2\sqrt{3}$．
（Ι）证明：AD∥平面EBC；
（II）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （Ι）取BC的中点为F，连接AF，EF，推导出EF⊥BC，从而EF⊥平面ABC，进而AD∥EF，由此能证明AD∥平面EBC．
（II）由V_E-ABD=V_F-ABD=V_D-ABF，能求出三棱锥E-ABD的体积．

解答 证明：（Ι）取BC的中点为F，连接AF，EF，…（1分）
∵△BCE为正三角形，
∴EF⊥BC，…（2分）
∵平面ABC⊥平面BCE，且交线为BC，
∴EF⊥平面ABC，…（4分）
又∵AD⊥平面ABC，
∴AD∥EF，…（5分）
∵EF?平面EBC，DA?平面EBC
∴AD∥平面EBC．…（6分）
解：（II）由（Ⅰ）知EF∥AD，
∴V_E-ABD=V_F-ABD=V_D-ABF，…（10分）
∴${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}BF•AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{D-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•AD=1$，
即三棱锥E-ABD的体积V_E-ABD=1．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．