Question

10．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由椭圆与直线y=2x交于（c，2c）点，代入椭圆的方程，利用椭圆的离心率及取值范围，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由已知可得：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆与直线y=2x交于（c，2c）点，
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
整理得：a⁴-6a²c²+c⁴=0，方程两边同除以a⁴，
由e=$\frac{c}{a}$，（1＜e＜1），即1-6e²+e⁴=0，
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，或e²=3+2$\sqrt{2}$（舍去），
∴e=$\sqrt{2}$-1，或e=1-$\sqrt{2}$（舍去），
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆a，b与c的关系，考查计算能力，属于中档题．