Question

10．已知函数f（x）=$\frac{2mx-{m}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$（x∈R）．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当m=2时，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f（2）=$\frac{4}{5}$，
又因为f′（x）=$\frac{2（1{-x}^{2}）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=，则f′（2）=-$\frac{6}{25}$．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
y-$\frac{4}{5}$=-$\frac{6}{25}$（x-2），即6x+25y-32=0．
（2）f′（x）=$\frac{-2（x-m）（mx+1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，m=2时
令f′（x）=0，得到x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{2}$）	-$\frac{1}{2}$	（-$\frac{1}{2}$，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

从而f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{2}$），（2，+∞）内为减函数，在区间（-$\frac{1}{2}$，2）内为增函数，
故函数f（x）在点x₁=-$\frac{1}{2}$处取得极小值f（-$\frac{1}{2}$），且f（-$\frac{1}{2}$）=-4，
函数f（x）在点x₂=2处取得极大值f（2），且f（2）=1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．