Question

9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． 0

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=f（x+3），故函数f（x）是周期等于3的周期函数．再根据奇函数的性质求得f（3）=f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=1
求得一个周期内，f（1）+f（2）+f（3）的值，可得要求式子的值．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x）=f（x+3），故函数f（x）是周期等于3的周期函数．
∴f（0）=f（3）=0．
∵f（-1）=-f（1）=1，∴f（1）=-1，f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）=-1+1+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=669×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=669×0+（-1）+1=0，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，属于基础题．