Question

19．下列命题中，真命题是（　　）

• A． “x＞2”是”x²-x-2＞0”必要条件
• B． “$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$”充要条件
• C． ?x∈R，x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$≥1
• D． ?x∈R，cosx+sinx＞2

Answer 1

分析 A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
B．根据向量垂直的等价条件进行判断，
C．根据基本不等式的性质进行判断，
D．根据三角函数的辅助角公式，结合三角函数的有界性进行判断．

解答 解：A．由x²-x-2＞0得x＞2或x＜1，则“x＞2”是”x²-x-2＞0”充分不必要条件，故A错误，
B．若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0成立，
当$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$时，满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，但$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$不成立，故B错误，
C．x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$=x²+1+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$-1≥2$\sqrt{（{x}^{2}+1）•\frac{1}{{x}^{2}+1}}$-1=2-1=1，
当且仅当x²+1=$\frac{1}{{{x^2}+1}}$，即x²+1=1，即x=0时取等号，故?x∈R，x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$≥1为真命题．
D．cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
而2∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故?x∈R，cosx+sinx＞2错误，故D错误，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，向量垂直的应用以及特称命题的判断，涉及的知识点较多，但难度不大．