Question

（1）求y=

x2+5

x2+4

的最小值；
（2）若a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，求a

1+b2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）令

x2+4

=t≥2，则f（t）=

t2+1

t

=t+

1

t

，利用导数即可得出函数f（t）在[2，+∞）单调性质；
（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）令

x2+4

=t≥2，则f（t）=

t2+1

t

=t+

1

t

，
f′（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，
∴函数f（t）在[2，+∞）单调递增，
∴当t=2时，函数f（t）取得最小值，f（2）=

5

2

．
（2）∵a＞0，b＞0，且a²+

b2

2

=1，
∴a

1+b2

=

a2(1+b2)

=

2a2• 1+b2 2

=

2

a2• 1+b2 2

≤

2

•

[ a2+ 1 2 + b2 2 2 ]2

=

2

( 1+ 1 2 2 )2

=

3 2

4

，
当

a2= 1+b2 2 a2+ b2 2 =1 a＞0，b＞0

时，解得a=

3

2

，b=

2

2

时，
a

1+b2

的最大值为

3 2

4

．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．