题目内容

如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若
AE
=λ
AB
+μ
AC
，则t=λ-μ的最大值是
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：
AE
，
AD
共线，所以存在实数k使
AE
=k
AD
，0≤k≤1，根据向量的加法和减法以及B是CD中点，可用
AB
，
AC
表示
AD
为：
AD
=2
AB
-
AC
，所以又可以用
AB
，
AC
表示
AE
为：
AE
=2k
AB
-k
AC
=λ
AB
+μ
AC
，所以根据平面向量基本定理得：
λ=2k
μ=-k
，λ-μ=3k≤3，所以最大值是3．
解答： 解：设
AE
=k
AD
=k(
AC
+2
CB
)=k[
AC
+2(
AB
-
AC
)]=2k
AB
-k
AC
，0≤k≤1；
又
AE
=λ
AB
+μ
AC
；
∴
λ=2k
μ=-k
；
∴t=λ-μ=3k，0≤k≤1；
∴k=1时t取最大值3．
即t=λ-μ的最大值为3．
故答案为：3．
点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．
练习册系列答案
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设α∈(0，
π
2
)，β∈(0，
π
4
)，且tanα=
1+sin2β
cos2β
，则下列结论中正确的是（　　）
A、2α-β=
π
4
B、2α+β=
π
4
C、α-β=
π
4
D、α+β=
π
4
某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元．此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x亿元．已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%．为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y元，求y的值．
（参考数据：1.111≈2.85）
某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成茎叶图如图（单位：cm）若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
若变量x，y满足约束条件
3x-y-1≥0
3x+y-11≤0
y≥2
则z=2x+y的最大值为
 
．
已知实数a，b，c满足
a＞b＞c
a+b+c=1
a2+b2+c2=1
，则a+b的取值范围是（　　）
A、(
3
2
，
5
3
)
B、(1，
4
3
]
C、(1，
4
3
)
D、(-
1
3
，0)
已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且椭圆Γ 的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ 的标准方程；
（Ⅱ）如图，设直线m：y=2x与椭圆Γ 交于A，B两点（其中点A在第一象限），且直线m与定直线x=2交于D，过D作直线DC∥AF交x轴于点C，试判断直线AC与椭圆Γ 的公共点个数．
已知直线l：y=x-1与⊙O：x2+y2=4相交于A，B两点，过点A，B的两条切线相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若N为线段AB上的任意一点（不包括端点），过点N的直线交⊙O于C，D两点，过点C、D的两条切线相交于点Q，判断点Q的轨迹是否经过定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，说明理由．
点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=
3
，若四面体ABCD体积的最大值为
3
，则这个球的表面积为（　　）
A、
169
16
π
B、8π
C、
289π
16
D、
25π
16

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