Question

已知直线l：y=x-1与⊙O：x²+y²=4相交于A，B两点，过点A，B的两条切线相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若N为线段AB上的任意一点（不包括端点），过点N的直线交⊙O于C，D两点，过点C、D的两条切线相交于点Q，判断点Q的轨迹是否经过定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x₁，y₁），则过点O，A，B，P的圆的方程为x（x-x₁）+y（y-y₁）=0，与x²+y²=4联立可得x₁x+y₁y=4，与直线直线l：y=x-1重合，故可得点P的坐标；
（2）设N（x₀，y₀），Q（x₂，y₂）可得x₂x₀+y₂y₀=4，y₀=x₀-1，则点Q的轨迹为动直线x₀x+（x₀-1）y=4，则恒成立可得

x+y=0 y+4=0

，从而解得．

解答： 解：（1）设P（x₁，y₁），
则过点O，A，B，P的圆的方程为x（x-x₁）+y（y-y₁）=0．
即x²+y²-x₁x-y₁y=0…①
又因为⊙O：x²+y²=4…②
由①-②得，x₁x+y₁y=4，即为直线AB的方程．
又因为AB方程为y=x-1，
所以

x1

-1

=

y1

-1

=

4

-1

，解得x₁=4，y₁=-4，
所以点P的坐标为（4，-4）．
（2）设N（x₀，y₀），Q（x₂，y₂），
由（1）可知直线CD的方程为：x₂x+y₂y=4，
因为N（x₀，y₀）在直线CD上，所以x₂x₀+y₂y₀=4．
又因为N（x₀，y₀）在直线AB上，所以y₀=x₀-1．
即x₂x₀+y₂（x₀-1）=4，
所以点Q的轨迹为动直线x₀x+（x₀-1）y=4．
如果点Q的轨迹过定点，那么x₀x+（x₀-1）y=4与x₀无关．
即（x+y）x₀-y-4=0与x₀无关，
所以

x+y=0 y+4=0

解得

x=4 y=-4

所以点Q的轨迹恒过定点（4，-4）．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系及恒成立问题的处理方法，属于中档题．