Question

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元．此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x亿元．已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%．为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y元，求y的值．
（参考数据：1.1¹¹≈2.85）

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，然后由等差数列的通项公式列等式求得x的值；
（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），该城市的人口数组成一个等比数列{a_n}，求出通项公式，医疗费用人均投入组成一个等差数列{b_n}，求出通项公式，然后利用错位相减法求得将来10医疗费用总投入．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，
到2012年，n=11，该城市的人口数为200+（11-1）×10=300万人，
故2012年医疗费用投入为300×10⁴×1000=3×10⁹元，即为30亿元，
由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，
∴10+（11-1）x=30，解得x=2；
（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），
该城市的人口数组成一个等比数列{a_n}，
其中a₁=300×（1+10%）=300×1.1，公比q=1.1，an=300×1．1n．
医疗费用人均投入组成一个等差数列{b_n}，
其中b₁=1000+y，公差为y，b_n=1000+ny；
于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：
S₁₀=a₁b₁+a₂b₂+…+a₁₀b₁₀，
=300（1000+y）×1.1+300（1000+2y）×1.1²+…+300（1000+10y）×1.1¹⁰，
1.1S10=300(1000+y)×1．12+3000(1000+2y)×1．13+…+300（1000+10y）×1.1¹¹，
相减得：-0.1S10=300[1100+1.1y+1．12y+…+1．110y-(1000+10y)×1．111]
=300[1100+

1.1-1．111

1-1.1

y-(1000+10y)×1．111]=-300(11y+1750)，
∴S_n=3000（11y+1750）（万元），
由题设，3000（11y+1750）=6900000，解得y=50．

点评：本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力，是中档题．