Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，
（1）求过点P（3，4）的圆的切线方程；
（2）若过点Q（2，3）的直线与圆交于A，B两点，且点Q恰为弦AB的中点，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）确定点P在圆外，可得过点P的切线有两条，再分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求过点P（3，4）的圆的切线方程；
（2）求出直线AB的方程，可得点O到直线AB的距离，求出AB的长，即可求△AOB的面积．

解答： 解：（1）∵|PC|=

(3-1)2+(4-2)2

＞2
∴点P在圆外，∴过点P的切线有两条，…（2分）
∴当切线斜率不存在时，切线方程为：x=3，满足已知条件； …（4分）
当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为：y-4=k（x-3），
∴d=

|k-2+4-3k|

k2+1

=2，解得：k=0，
∴切线方程为：y=4．
综上：过点P的切线方程为：x=3或y=4…（6分）
（2）∵点Q恰为弦AB的中点，∴kAB=-

1

kCQ

=-1，
∴l_AB：y-3=-（x-2）…（8分）
∴点O到直线AB的距离d=

5

2

…（10分）
又∵|AB|=2

2

，…（11分）
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×2

2

×

5

2

=5…（13分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．