题目内容

波波斯基以游戏方式决定是否参加学校同人社还是学校芭蕾舞团，游戏规则为：以O为起点（如图正方体ABCD-EFGH的中心为点O），再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就参加芭蕾舞团，否则就参加同人社．
（Ⅰ）求波波参加学校芭蕾舞社的概率；
（Ⅱ）若分别在左面四个顶点A，D，H，E处放置蓝球，右面四个顶点B，C，G，F处放置红球，波波斯基在上底面随机抽取2个球，在下底面随机抽取3个球，记抽得的红球个数为ξ，写出随机变量ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）以O为起点，再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，满足条件的两个向量的个数为
C
2
8
 
 
个，这两个向量的数量积为X，当向量的两个终点在同一条棱上时X＞0，由此能求出波波参加学校芭蕾舞社的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
解答： 解：（Ⅰ）以O为起点，
再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，
满足条件的两个向量的个数为
C
2
8
 
 
=28个，分别为：
OA
，
OB
；
OA
，
OC
；
OA
，
OD
；
OA
，
OE
；
OA
，
OF
；
OA
，
OG
；
OA
，
OH
；
OB
，
OC
；
OB
，
OD
；
OB
，
OE
；
OB
，
OF
；
OB
，
OG
；
OB
，
OH
；
OC
，
OD
；
OC
，
OE
；
OC
，
OF
；
OC
，
OG
；
OC
，
OH
；
OD
，
OE
；
OD
，
OF
；
OD
，
OG
；
OD
，
OH
；
OE
，
OF
；
OE
，
OG
；
OE
，
OH
；
OF
，
OG
；
OF
，
OH
；
OG
，
OH
．
这两个向量的数量积为X，则X＞0的有12，分别为：
OA
，
OB
；
OA
，
OD
；
OA
，
OE
；
OB
，
OC
；
OB
，
OF
；
OC
，
OD
；
OC
，
OG
；
OD
，
OH
；
OE
，
OF
；
OE
，
OH
；
OF
，
OG
；
OG
，
OH
．
∴波波参加学校芭蕾舞社的概率p=
12
C
2
8
=
3
7
．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
1
12
，
P（ξ=2）=
C
1
2
•C
1
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
+
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
5
12
，
P（ξ=3）=
C
1
2
•C
1
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
+
C
2
2
C
1
2
C
2
2
C
2
4
C
3
4
=
5
12
，
P（ξ=4）=
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
1
12
，
∴ξ的分布列为：
 ξ  1 2   3  4
 P  
1
12
  
5
12
  
5
12
1
12
数学期望Eξ=1×
1
12
+2×
5
12
+3×
5
12
+4×
1
12
=
5
2
．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的灵活运用，是中档题．
练习册系列答案
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1
2
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已知圆C1：（x+
6
2
）2+y2=
25
8
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6
2
）2+y2=
1
8
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Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
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②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
③对任意实数θ，一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切；
④对任意实数k，一定存在实数θ，使得直线l与和圆M相切．
其中真命题的代号是
 
（写出所有真命题的代号）．
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．
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是
3
2
，则 b=（　　）
A、1+
3
B、
1+
3
2
C、
2+
3
2
D、2+
3

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