Question

在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x，y满足

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，记

S1

S

=λ₁，

S2

S

=λ₂，则λ₁•λ₂取得最大值时，2x+3y的值为

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示．由于点P在△ABC的中位线EF上，可得

S△BPC

S

=

1

2

．于是

S1+S2

S

=

1

2

，即S1+S2=

1

2

S．利用基本不等式可得：当且仅当S1=S2=

1

4

S时S₁S₂取得最大值

1

16

S2．此时点P为线段EF的中点．以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O．利用向量的平行四边形法则即可得出x，y的值．

解答： 解：如图所示．
∵点P在△ABC的中位线EF上，∴

S△BPC

S

=

1

2

．
∴

S1+S2

S

=

1

2

，即S1+S2=

1

2

S．
∴

1

2

S≥2

S1S2

，当且仅当S1=S2=

1

4

S时取等号，此时S₁S₂取得最大值

1

16

S2．
此时点P为线段EF的中点．
以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O．
则

PB

+

PC

=

PD

=2

PO

=-2

PA

，
化为

PA

+

1

2

PB

+

1

2

PC

=

0

．
∵

PA

+x

PB

+y

PC

=

0

，
∴x=y=

1

2

．
∴2x+3y=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题综合考查了向量的平行四边形法则、向量共面的基本定理、三角形的中位线定理、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．