Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE=4，BE=1，则AC=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：由Rt△ABD中，DE垂直于AB，得出△BDE与△DAE相似，由相似得比例求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长，同理求出DC的长，在△ADC中，利用余弦定理即可求出AC的长．

解答： 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD=∠BDE，
∵∠AED=∠DEB=90°，
∴△AED∽△DEB，
∵AE=4，BE=1，
∴ED²=AE•BE=4，即ED=2，
根据勾股定理得：AD=

AE2+ED2

=2

5

，BD=

DE2+BE2

=

5

，
同理△ABD∽△CAD，即AD²=BD•DC，
∴DC=

(2 5 )2

5

=4

5

，
在△ADC中，利用余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC=20+80-0=100，
则AC=10．
故答案为：10

点评：此题考查了余弦定理，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．