Question

求函数y=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值并用分段函数来表示．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先将函数配方，确定函数的对称轴，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数f（x）=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值，得到最小值的分段函数．

解答： 解：f（x）=2（x-

a

2

）²+3-

a2

2

．
①当

a

2

＜-1，即a＜-2时，函数在区间[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）的最小值为f（-1）=5+2a；
②当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，函数在区间[-1，

a

2

]上单调减，在区间[

a

2

，1]上单调增，
∴f（x）的最小值为f（

a

2

）=3-

a2

2

；
③当

a

2

＞1，即a＞2时，函数在区间[-1，1]上单调减，
∴f（x）的最小值为f（1）=5-2a．
综上可知，f（x）的最小值为：

5+2a，a＜-2 3- a2 2 ，-2≤a≤2 5-2a，a＞2

．

点评：本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论．