题目内容

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象上两点A（a，f（a）），B（b，f（b））．M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，若不等式|
MN
|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-
1
x
在[1，3]上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：利用向量的坐标运算，求出
MN
的坐标，运用求模公式可解．
解答： 解：设M（x，y），则x=λ+（1-λ）×3=3-2λ，y=3-2λ-
1
3-2λ
，λ∈[0，1]
∴M坐标为（3-2λ，3-2λ-
1
3-2λ
）
又
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB

=（3-2λ，
8
3
-
8
3
λ）
∴
MN
=（0，
1
3-2λ
-
1+2λ
3
）
∴|
MN
|=
1+2λ
3
-
1
3-2λ

=
4
3
-（
3-2λ
3
+
1
3-2λ
）≤
4
3
-
3-2λ
3
×
1
3-2λ
=
4-2
3
4

∴k≥
4-2
3
3

故答案为：[
4-2
3
3
，+∞）
点评：本体题主要考察了向量的坐标运算，难度适中，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，四个顶点所围成菱形的面积为8
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足kOA•kOB=-
1
2
，
（i）求
.
OA
•
.
OB
的取值范围；
（ii）求△AOB的面积．
已知y=f（x）是关于x的二次函数，且f（-
3
2
+x）=f（-
3
2
-x），f（-
3
2
）=49，其函数图象与x轴两交点间的距离等于7，求二次函数y=f（x）的解析式．
已知抛物线y2=2px与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有相同的焦点F，P是两曲线的公共点，若|PF|=
5
6
p，则此椭圆的离心率为
 
．
设函数y=f（x）的定义域为R，若对于给定的正数k，定义函数fk（x）=
k，f(x)≤k
f(x)，f(x)＞k
则当函数f（x）=
1
x
，k=1时，定积分
∫
2
1
4
fk（x）dx的值为
 
．
在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x，y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=
0
，设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，记
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，则λ1•λ2取得最大值时，2x+3y的值为
 
．
某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数．则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为
 
．
已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，
AM
=m
AB
，
AN
=n
AD
（m•n≠0），若
MN
∥
BE
，则
n
m
=
 
．
某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（　　）
A、27cm3
B、9cm3
C、3
2
cm3
D、3cm3

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