题目内容
已知函数f（x）=x3-3x2+a（a∈R）
①若f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，2），则a= ；
②若对任意x1∈[0，2]，都存在x2∈[2，3]使得f（x1）+f（x2）≤2，则实数a的范围为 ．
①若f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，2），则a=
②若对任意x1∈[0，2]，都存在x2∈[2，3]使得f（x1）+f（x2）≤2，则实数a的范围为
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：①求出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a；
②运用导数判断f（x）在[0，2]，在[2，3]的单调性，求出最值，由题意得，f（x1）max+f（x2）min≤2，
得到不等式，解出即可．
②运用导数判断f（x）在[0，2]，在[2，3]的单调性，求出最值，由题意得，f（x1）max+f（x2）min≤2，
得到不等式，解出即可．
解答：
解：①函数f（x）=x3-3x2+a的导数f′（x）=3x2-6x，
在（1，f（1））处的切线斜率为3-6=-3，
切点（1，a-2），由两点的斜率公式，得-3=
，
则a=1；
②导数f′（x）=3x2-6x，
当x∈[0，2]，f′（x）≤0，f（x）递减，
当x∈[2，3]，f′（x）≥0，f（x）递增．
则f（x1）的最大值为f（0）=a，
f（x2）的最小值为f（2）=a-4，
则由题意得，f（x1）max+f（x2）min≤2，
即有a+a-4≤2，
解得，a≤3．
故答案为：1，a≤3
在（1，f（1））处的切线斜率为3-6=-3，
切点（1，a-2），由两点的斜率公式，得-3=
| a-4 |
| 1 |
则a=1；
②导数f′（x）=3x2-6x，
当x∈[0，2]，f′（x）≤0，f（x）递减，
当x∈[2，3]，f′（x）≥0，f（x）递增．
则f（x1）的最大值为f（0）=a，
f（x2）的最小值为f（2）=a-4，
则由题意得，f（x1）max+f（x2）min≤2，
即有a+a-4≤2，
解得，a≤3．
故答案为：1，a≤3
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．
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如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．函数f（x）=-x3+3x在区间（a2-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A、（-1，
| ||
| B、（-1，2） | ||
| C、（-1，2] | ||
| D、（1，4） |
下列命题中的真命题是（ ）
| A、对于实数a、b、c，若a＞b，则ac2＞bc2 |
| B、x2＞1是x＞1的充分而不必要条件 |
| C、命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx＞0” |
| D、?α，β∈R，使得sin（α+β）=sinα+sinβ成立 |