Question

已知点A（0，2）和圆C：（x-6）²+（y-4）²=

36

5

，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求：
（1）这条光线从A点到切点所经过的路程．
（2）求入射光线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）先求A的对称点的坐标，设反射线斜率，利用相切求出斜率，可得方程，这条光线从A点到切点所经过的路程．可以求对称点到切点的距离即可．
（2）入射光线与反射光线斜率相反，纵截距相反，结合（1）中反射光线的方程，可得答案．

解答： 解：如图所示，设A关于x轴的对称点为A′，则A′（0，-2）．
由光学性质可知，A′在反射线上，可设反射线方程为y=kx-2．
因为反射线与圆相切，所以

|6k-4-2|

k2+1

=

6

5

，
解得k₁=2，k₂=

1

2

，于是，反射线方程为2x-y-2=0与x-2y-4=0．
设切点为M，反射点为B，则|AB|+|BM|=|A′B|+|BM|=|A′M|=

|A′C|2-( 6 5 )2

=

18 5

5

（2）∵射光线与反射光线斜率相反，纵截距相反，
可得：k₃=-2，k₄=-

1

2

，b=2，
即入射光线的方程为y=-2x+2，y=-

1

2

x+2，
即2x+y-2=0或x+2y-4=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，点、直线对称的圆的方程，是中档题．