Question

在平面之间坐标系中，已知A（-1，1），B（2，4），圆C：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0
（1）若圆C过点A，求a的值；
（2）若圆C与直线AB相交于P，Q两点，且CP⊥CQ，求a的值；
（3）若圆C与线段AB有公共点，求a的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）圆C过点A，代入圆的方程直接求解a的值；
（2）通过圆C与直线AB相交于P，Q两点，且CP⊥CQ，转化为，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求a的值；
（3）若圆C与线段AB有公共点，列出不等式，即可求a的最小值．

解答： 解：（1）若圆C过点A，可得：（-1）²+2a+1-4+a²+

51

25

=0，可得a=-1±

2 6

5

；
（2）圆C与直线AB相交于P，Q两点，且CP⊥CQ，可知，圆心到直线的距离与半径满足r=

2

d，
A（-1，1），B（2，4），所以AB的方程为：x-y+2=0，
圆C：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0，圆心（a，2），半径为：

7

5

．
∴d=

|a|

2

，则

2

×

|a|

2

=

7

5

，
可得a=±

7

5

；
（3）圆C与线段AB有公共点，可得：

|a|

2

≤

7

5

，可得-

7 2

5

≤a≤

7 2

5

，
a的最小值为：-

7 2

5

．

点评：本题考查圆的一般方程与仔细的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．