Question

14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜$\frac{3π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；   
（2）求函数f（x）在[$\frac{3π}{2}$，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据所给的图象，确定其周期，然后，代入相应的点即可得到相应的解析式；
（2）结合（1）和所给的范围，利用三角函数的单调性，确定其最大值和最小值．

解答 解：（1）根据题意，得
$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{6}$-（-$\frac{π}{6}$），
∵T=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ），
∵f（$\frac{5π}{6}$）=2，
∴sin（$\frac{3}{2}×\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∴sin（$π+\frac{π}{4}$+φ）=1，
∴-sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
∵π＜φ＜$\frac{3π}{2}$，
∴φ=$\frac{5π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$），
（2）∵x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，
∴$\frac{9π}{4}$≤$\frac{3}{2}$x≤3π，
∴$\frac{7π}{2}$≤$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$≤4π+$\frac{π}{4}$，
∴函数f（x）在[$\frac{3π}{2}$，2π]上的最大值$\sqrt{2}$，最小值-2．

点评 本题重点考查了三角函数的周期性、单调性、最值问题，掌握三角函数的图象与性质是解题的关键，属于中档题．