Question

3．已知实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{2x-y+2≥0}\\{2x-y-3≤0}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，求z=3x+2y的最大值与最小值．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{2x-y+2≥0}\\{2x-y-3≤0}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{7}{3}，\frac{5}{3}$），
又O（0，0），
化目标函数z=3x+2y为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$．
由图可知，当直线$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；
当直线$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$3×\frac{7}{3}+2×\frac{5}{3}=\frac{31}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．