Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）要证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明MO∥PB即可；
（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，推导出∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角，从而求出sinα

解答 解：（1）证明：连接BD，MO，
由题O为BD中点，又M为PD中点
∴MO∥PB，
又∵PB?面MAC，MO?面MAC，
∴PB∥面MAC
（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角．
MN=$\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}$．
在Rt△ADO中，∵DO=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，AN=$\frac{1}{2}DO=\frac{\sqrt{5}}{4}$．
在Rt△AMN中，AM=$\sqrt{M{N}^{2}+A{N}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{MN}{AM}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．