Question

18．已知函数f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
（1）试讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在a∈（e，+∞），对任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{3}e，3e]$都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+eln3）a+3e成立，求实数m的取值范围．（e=2.71828…）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，问题转化为m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，令g（a）=2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，（a∈（e，+∞）），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=alnx+a+b，
∴f′（1）=a+b=0，故b=-a，
∴f（x）=axlnx-ax，且f′（x）=alnx，
当a＞0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
a＜0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）∵a∈（e，+∞），
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
又f（$\frac{1}{3}$e）=$\frac{1}{3}$aeln$\frac{1}{3}$＜0，f（1）=-a，f（3e）=3aeln3＞0，
∴x∈[$\frac{1}{3}$e，3e]时，f（x）_max=f（3e）=3aeln3，f（x）_min=f（1）=-a，
∴若对任意x₁，x₂∈[$\frac{1}{3}$e，3e]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+eln3）a+3e成立，
只需（m+eln3）a+3e＞f（3e）-f（1）=3aeln3+a，
即m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，
令g（a）=2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，（a∈（e，+∞）），
易知g（a）＞g（e）=2eln3-2，
∵存在a∈（e，+∞），使得m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$成立，
∴m＞2eln3-2，
故实数m的范围是（2eln3-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．