Question

8．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$，若使得目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$表示的平面区域，把目标函数z=ax+y化为y=-ax+z，讨论a=0、a＞0和a＜0时，直线y=-ax+z截距取得最大值时对应a的值即可．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示：
由z=ax+y得y=-ax+z；
当a=0时，直线化为y=z，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；
当a＞0时，直线y=-ax+z截距取得最大值，此时的最优解只有一个C点，不满足条件；
当a＜0时，直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与AC平行，
由直线AC的斜率k=1，解得a=-1；
综上，满足条件的a=-1．
故选：D．

点评 本题主要考查了线性规划的应用问题，解题的关键是利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用数形结合求出答案．