Question

6．等差数列{a_n}中，a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•5ⁿ，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项为a₁，公差为d，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由${b_n}={a_n}•{5^n}=（{2n+3}）•{5^{n-1}}$，利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和S_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设首项为a₁，公差为d，
∵a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．
∴依题意有$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+5d=4\\ 2{a_1}+10d=6\end{array}\right.$（2分）
解得${a_1}=1，d=\frac{2}{5}$．（4分）
∴${a_n}={a_1}+（{n-1}）d=\frac{2n+3}{5}$．（6分）
（Ⅱ）${b_n}={a_n}•{5^n}=（{2n+3}）•{5^{n-1}}$（7分）
${S_n}=5+7×5+9×{5^2}+…+（{2n+3}）•{5^{n-1}}$，
$5{S_n}=5×5+7×{5^2}+9×{5^3}+…+（2n+1）•{5^{n-1}}+（{2n+3}）•{5^n}$，（8分）
两式相减得$-4{S_n}=5+2×5+2×{5^2}+…+2•{5^{n-1}}-（{2n+3}）•{5^n}$（9分）
=$5+\frac{{2×5-2•{5^n}}}{1-5}-（{2n+3}）•{5^n}$（10分）
=$\frac{{5-（{4n+5}）•{5^n}}}{2}$（11分）
∴${S_n}=\frac{{（{4n+5}）•{5^n}-5}}{8}$．（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式、数列求和、错位相减求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．