Question

求过原点作曲线C：y=x³-3x²+2x-1的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：设切点为（x₀，y₀），求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线方程，根据切线过原点，代入切线方程，再由切点在曲线上，得到方程，解方程，即可得到切点，进而得到切线方程．

解答： 解：设切点为（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+2，
∴切线斜率为3x₀²-6x₀+2，
∴切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀）
∵切点在曲线C上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀-1，①
又切线过原点，
∴-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（-x₀），②
由①②得0=-2x₀+3x₀-1，
∴2x₀³-3x₀²+1=0，
因式分解得：（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x₀=-

1

2

，
∴两个切点为（1，-1），（-

1

2

，-

23

8

）
∴两条切线方程为y+1=-（x-1）和y+

23

8

=

23

4

（x+

1

2

）
即x+y=0或23x-4y=0．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题和易错题．