题目内容

5．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；
平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．
参考公式：${k^2}=\frac{{n（ad-bc{）^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0）0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

分析 （Ⅰ）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，求得从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，
驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率，知ξ的可能取值，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），
计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；

平均车数超过
人数		平均车速不超过
人数		合计
男性驾驶员人数201030
女性驾驶员人数51520
合计252550
计算K2=$\frac{50{×（20×15-10×5）}^{2}}{30×20×25×25}$=$\frac{25}{3}$≈8.333＞7.879，
所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，
驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为$\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$，
所以ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{3}{10}）}^{0}$•${（\frac{7}{10}）}^{3}$=$\frac{343}{1000}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{3}{10}$•${（\frac{7}{10}）}^{2}$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{3}{10}）}^{2}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{189}{1000}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{3}{10}）}^{3}$•${（\frac{7}{10}）}^{0}$=$\frac{27}{1000}$；
ξ的分布列为：
ξ0123
P$\frac{343}{1000}$$\frac{441}{1000}$$\frac{189}{1000}$$\frac{27}{1000}$
数学期望为$E（ξ）=0×\frac{343}{1000}+1×\frac{441}{1000}+2×\frac{189}{1000}+3×\frac{27}{1000}=\frac{9}{10}=0.9$；
或$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$．

点评 本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档题．

练习册系列答案
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