Question

17．已知函数 f（x）=|2x+1-|2x-t|（t∈R）．
　　（Ⅰ）当 t=3时，解关于x 的不等式 f（x）＜1；
　　（Ⅱ）?x∈R使得，求 f（x）≤-5，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）问题等价于f_min（x）≤-5，求出f（x）的最小值，得到关于t的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ 2x+1-2x+3＜1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+2x-3＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+2x-3＜1}\end{array}\right.$..（3分）
解得x∈∅或$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{4}$或$x＜-\frac{1}{2}$…（4分）
综上，原不等式的解集是$\left\{{x\left|{x＜\frac{3}{4}}\right.}\right\}$…（5分）
（Ⅱ）解：?x∈R，使f（x）≤-5，
等价于f_min（x）≤-5…（6分）
∵|f（x）|=||2x+1|-|2x-t||≤|（2x+1）-（2x-t）|=|1+t|…（7分）
∴-|1+t|≤f（x）≤|1+t|，
所以f（x）取得最小值-|1+t|…（8分）
∴-|1+t|≤-5，
得t≥4或t≤-6，
∴t的取值范围是（-∞，-6]∪[4，+∞）…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．