Question

20．在直角坐标系中xOy，直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是参数）．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=sinθ-cosθ（θ是参数）．
（Ⅰ）将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线C₂所表示的曲线；
（Ⅱ）若M为曲线C₂上的一个动点，求点M到直线C₁的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₂的极坐标方程为ρ=sinθ-cosθ（θ是参数）．可得ρ²=ρ（sinθ-cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程：通过配方可得曲线C₂所表示的曲线为圆．
（Ⅱ）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是参数）．消去参数t化为普通方程：2x-y-1=0．求出圆心C₂到直线C₁的距离d．可得点M到直线C₁的距离的最大值为d+r，最小值为d-r．

解答 解：（I）曲线C₂的极坐标方程为ρ=sinθ-cosθ（θ是参数）．可得ρ²=ρ（sinθ-cosθ），化为直角坐标方程：x²+y²=y-x．
配方为：$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．可得曲线C₂所表示的曲线为圆：圆心为C₂$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+1}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t化为普通方程：2x-y-1=0．
圆心C₂到直线C₁的距离d=$\frac{|-\frac{1}{2}×2-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴点M到直线C₁的距离的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．