Question

10．已知圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=16，过直线l：6x+8y-5a=0（a＞0）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为$2\sqrt{5}$，则直线l在y轴上的截距为$\frac{55}{4}$．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标和半径，过直线l：6x+8y-5a=0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，切线长最小转化为圆心到直线l的距离最小，利用点到直线的距离公式得答案．

解答 解：如图，由（x-3）²+（y-4）²=16，得圆心坐标为（3，4），

要使切线长最小，即圆心到直线l：6x+8y-5a=0的距离最小，
∵圆的半径为4，切线长为$2\sqrt{5}$，
∴圆心到直线l：6x+8y-5a=0（a＞0）的距离等于$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}=6$．
再由$\frac{|3×6+4×8-5a|}{10}=6$，解得：a=22（a＞0）．
此时直线l在y轴上的截距为$\frac{5a}{8}=\frac{5}{8}×22=\frac{55}{4}$．
故答案为：$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．