Question

15．已知$1+\frac{1}{1+2}=\frac{4}{3}$，$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}=\frac{3}{2}$，$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{8}{5}$，…，若$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+…+\frac{1}{1+2+3+…+n}=\frac{12}{7}$，则n=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 方法一：直接观察，归纳可得结论，
方法二，求出数列的前n项和，即可求出n．

解答 解：方法一：$1+\frac{1}{1+2}=\frac{4}{3}$=$\frac{2×2}{2+1}$，
$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}=\frac{3}{2}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{2×3}{3+1}$，
$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{8}{5}$=$\frac{2×4}{4+1}$
…，
若$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+…+\frac{1}{1+2+3+…+n}=\frac{12}{7}$=$\frac{2×6}{6+1}$，
∴n=6，
方法二：$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{2}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
令$\frac{2n}{n+1}$=$\frac{12}{7}$，
解得n=6
故选：B

点评 本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于中档题．