Question

16．直角坐标系xOy中，曲线C：x²+（y-1）²=4与y轴负半轴交于点K，直线l与C相切于K，T为C上任意一点，T′为T在l上的射影，P为T，T'的中点．
（Ⅰ）求动点P的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）轨迹Γ与x轴交于A，B，点M，N为曲线Γ上的点，且OM∥AP，ON∥BP，试探究三角形OMN的面积是否为定值，若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意求得K的坐标与直线l的方程．设P（x，y），可知T'（x，-1），T（x，2y+1）．把T的坐标代入圆C的方程，可得动点P的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）依题意，不妨设A（-2，0），B（2，0），设OM的斜率为k₁，可得AP的斜率也为k₁；同理，设OM的斜率为k₂，可得BP的斜率也为k₂．写出AP、BP方程，分别与椭圆方程联立，整理可得${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{4}$，不妨设k₁＞0，k₂＜0．再写出OM，ON的方程，与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，求得|OM|，再由点到直线的距离公式求出N到OM的距离d．代入三角形OMN的面积整理得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可知K（0，-1），直线l：x=-1．
设P（x，y），依题意，可知T'（x，-1），T（x，2y+1）．
∵T为C：x²+（y-1）²=4上动点，∴C：x²+（2y+1-1）²=4，
可得动点P的轨迹Γ的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）依题意，不妨记A（-2，0），B（2，0），设OM的斜率为k₁，
∵OM∥AP，∴AP的斜率也为k₁；
同理，设OM的斜率为k₂，
∵ON∥BP，∴BP的斜率也为k₂．
设P（x₀，y₀），由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x+2）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得$（1+4{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}+16{{k}_{1}}^{2}x+16{{k}_{1}}^{2}-4=0$，
则${x}_{0}-2=\frac{-16{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$ ①；
同理，由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}（x-2）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得$（1+4{{k}_{2}}^{2}）{x}^{2}-16{{k}_{2}}^{2}x+16{{k}_{2}}^{2}-4=0$，
则${x}_{0}+2=\frac{16{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$ ②．
联立①②，消去x₀可得${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{4}$，不妨设k₁＞0，k₂＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得M（$\frac{2}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，$\frac{2{k}_{1}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$），则|OM|=$\sqrt{\frac{4（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得N（$-\frac{2}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，$\frac{2{k}_{2}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$）．
则N到OM的距离d=$\sqrt{\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{（1+4{{k}_{2}}^{2}）（1+{{k}_{1}}^{2}）}}$．
则三角形OMN的面积$S=\frac{1}{2}|{OM}|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}•\sqrt{\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{（1+4{{k}_{2}}^{2}）（1+{{k}_{1}}^{2}）}}$=$\sqrt{\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}-2{k}_{1}•{k}_{2}}}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．