题目内容
已知数列{an}，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2）
（1）求证：{
}为等差数列；
（2）求{an}的前n项和Sn．
（1）求证：{
| an |
| 2n |
（2）求{an}的前n项和Sn．
考点：数列的求和,等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件得
=
+1，
=1，由此能证明{
}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由
=1+（n-1）×1=n，得an=n•2n．由此利用错位相减法能{an}的前n项和Sn．
| an |
| 2n |
| 2an-1 |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
（2）由
| an |
| 2n |
解答：
（1）证明：∵a1=2，an=2an-1+2n（n≥2），
∴
=
+1，∴
-
=1，
∵
=1，
∴{
}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）得
=1+（n-1）×1=n，
∴an=n•2n．
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1，
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
∴
| an |
| 2n |
| 2an-1 |
| 2n |
| an |
| 2n |
| an-1 |
| 2n-1 |
∵
| a1 |
| 2 |
∴{
| an |
| 2n |
（2）解：由（1）得
| an |
| 2n |
∴an=n•2n．
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
=2n+1-2-n•2n+1，
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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