题目内容

已知xi＞0（i=1，2，3，4）且x1+x2+x3+x4=1，求证：x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
考点：不等式的证明
专题：不等式的解法及应用
分析：设x1+x2=m，x3+x4=n，则m＞0，n＞0，且
x1
m
+
x2
m
=1，
x3
n
+
x4
n
=1，m+n=1，由此入手能够证明x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
解答： 证明：设x1+x2=m，x3+x4=n，
则m＞0，n＞0，且
x1
m
+
x2
m
=1，
x3
n
+
x4
n
=1，m+n=1，
∴
x1
m
log2
x1
m
+
x2
m
log2
x2
m
≥-1①，
x3
n
log2
x3
n
+
x4
n
log2
x4
n
≥-1②，
mlog2m+nlog2n≥-1③，
由①式得x1（log2x1-log2m）+x2（log2x2-log2m）≥-m，
∴x1log2x1+x2log2x2≥-m+mlog2m
同理：由②得到：x3log2x3+x4log2x4≥-n+nlog2n，
∴x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-（m+n）+（mlog2m+nlog2n），
由③式和m+n=1得到：x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
∴x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，求f（13）．
下列说法正确的是
 

①常数列既是等差数列，又是等比数列
②实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递减数列
③实数等比数列中，若公比q＞1，则数列必是递增数列
④首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=
a1(1-qn)
1-q

⑤若数列an=n2+λn（n∈N*）为单调递增数列，则λ的取值范围是λ＞-3．
已知数列{an}，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2）
（1）求证：{
an
2n
}为等差数列；
（2）求{an}的前n项和Sn．
（文）已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
1
Sn+1-1
}的前n项和为Kn，证明：对于任意的n∈N*，都有Kn＜
3
4
．
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．
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．

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