Question

3．设函数f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：由f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，
得f'（x）=cosx+sinx+1，
于是$f'（x）=1+\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$．
令f'（x）=0，从而$sin（{x+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得x=π或$x=\frac{3π}{2}$．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，π）	π	$（{0，\frac{3}{2}π}）$	$\frac{3}{2}π$	$（{\frac{3}{2}π，2π}）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	π+2	单调递减	$\frac{3}{2}π$	单调递增

因此由上表知f（x）的单调递增区间是（0，π）与$（{\frac{3π}{2}，2π}）$，单调递减区间是$（{\frac{3π}{2}，2π}）$，
故函数的极小值为$f（{\frac{3π}{2}}）=\frac{3π}{2}$，极大值为f（π）=π+2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是一道中档题．