Question

已知两个正实数x，y满足

2

x

+

1

y

=1，并且x+2y≥m²-2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-2，4）
• B、[-2，4]
• C、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质可得x+2y的最小值，x+2y≥m²-2m恒成立?(x+2y)min≥m2-2m，即可得出．

解答： 解：∵两个正实数x，y满足

2

x

+

1

y

=1，
∴x+2y=（x+2y）(

2

x

+

1

y

)=4+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=8，当且仅当x=2y=4时取等号．
∵x+2y≥m²-2m恒成立，
∴(x+2y)min≥m2-2m，
∴m²-2m≤8，
解得-2≤m≤4．
∴实数m的取值范围是[-2，4]．
故选：B．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．