Question

已知一个椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂组成的三角形的周长为4+2

3

，且∠F₁BF₂=

2π

3

．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，由题意得，c=

3

2

a，则△F₁BF₂的周长为2a+2c=2a+

3

a=4+2

3

，解出a，c，b，即可得到椭圆方程；
（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，

5

4

x²+2tx+t²-1=0，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，化简整理，即可得到最大值．

解答： 解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，
则在三角形F₂OB中，由∠F₂BO=

π

3

，
得c=

3

2

a，则△F₁BF₂的周长为2a+2c=2a+

3

a=4+2

3

，
则a=2，c=

3

，b=1，
故所求的椭圆方程为：

x2

4

+y²=1；
（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，

5

4

x²+2tx+t²-1=0，
由题意得，△=（2t）²-5（t²-1）＞0，即t²＜5，x₁+x₂=-

8t

5

，x₁x₂=

4(t2-1)

5

，
弦长|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64t2 25 - 16(t2-1) 5

=4

2

×

5-t2

5

≤

4 10

5

．
当且仅当t=0时，取最大值为

4 10

5

．

点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，注意判别式大于0，考查运算能力，属于中档题．