Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上的一点A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直线l：y=kx+3与圆M有两个交点B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直线方程，若没有，请说明理由；
（Ⅱ）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假设存在直线l：y=kx+3，依题意可得则AM⊥BC，直线l的斜率为-$\frac{4}{3}$则直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+3，即4x+3y-9=0
圆心M（6，7）到4x+3y-9=0的距离d=$\frac{4×6+3×7-9}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{36}{5}＞5$，即直线l与圆M无两个交点，即可；
 （Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵A（2，4），T（t，0），
由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，于是（x-t-4）²+（y-3）²=25上，
从而圆（x-6）²+（y-7）²=25与圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共点，即可得实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）圆M：x²+y²-12x-14y+60=0化为（x-6）²+（y-7）²=25，圆心为M（6，7），半径为5
假设存在直线l：y=kx+3与圆M有两个交点B，C，并且|AB|=|AC|，
则AM⊥BC，∵k_AM=$\frac{7-4}{6-2}=\frac{3}{4}$，即直线l的斜率为-$\frac{4}{3}$
则直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+3，即4x+3y-9=0
圆心M（6，7）到4x+3y-9=0的距离d=$\frac{4×6+3×7-9}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{36}{5}＞5$
即直线l与圆M无两个交点，
∴不存在直线l：y=kx+3与圆M有两个交点B，C，并且|AB|=|AC|；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵A（2，4），T（t，0），
由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，由点Q在圆M上，所以（x₂-6）²+（y₂-7）²=25
即得（x₁-t-4）²+（y₁-3）²=25．
从而圆（x-6）²+（y-7）²=25与圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共点，
即5-5$≤\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}≤5+5$
解得2-2$\sqrt{21}$≤t≤2+2$\sqrt{21}$，
∴实数t的取值范围为[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．