Question

20．已知函数f（x）=2sinxcosx+$\frac{cos2x}{2}$+3sin²x$+\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由题意利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（I）依题意，$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}=sin2x-cos2x+2$=$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+2$，
∴函数的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
（II）令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，求得$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ（{k∈Z}）$，
可得f（x）的单调减区间为$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．