Question

设函数f（log₂x）=

x

x2+1

（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（2x²-λx）≥

2

5

对任意x∈[

1

2

，1]恒成立，求常数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元，令t=log₂x，则x=2^t，故f（t）=

2t

22t+1

，故f（x）=

2x

22x+1

；
（2）先验证函数为偶函数，再由f（2x²-λx）≥

2

5

=f（1）?f（|2x²-λx|）≥f（1），进一步λ≤2x-

1

x

的最小值，或λ≥2x+

1

x

的最大值，
求最值即可解决．

解答： 解：（1）令t=log₂x，则x=2^t，故f（t）=

2t

22t+1

，故f（x）=

2x

22x+1

；
（2）f（-x）=

2-x

2-2x+1

=

2-x•22x

2-2x•22x+22x

=

2x

22x+1

=f（x），故函数f（x）为偶函数且在[0，+∞）递增，
又f（1）=

2

5

，∴f（2x²-λx）≥

2

5

=f（1）?f（|2x²-λx|）≥f（1），
∴|2x²-λx|≥1，
∴2x²-λx≥1，或2x²-λx≤-1，
∴2x²-1≥λx，或2x²+1≤λx，
∴λ≤2x-

1

x

，或λ≥2x+

1

x

，
∴λ≤2x-

1

x

的最小值，或λ≥2x+

1

x

的最大值，
∵x∈[

1

2

，1]时2x-

1

x

的最小值为-1，2x+

1

x

的最大值为3，
∴λ≤-1或λ≥3，
故λ的取值范围为{λ|λ≤-1或λ≥3}．

点评：本题主要考查函数解析式的求法，同时考查函数与不等式的关系，做题时要注意转化．