Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

），（x∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（

α

2

-

π

6

）=

6

5

，α∈（

π

2

，π），求tan（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正切函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．
（Ⅱ）利用上步求出的函数解析式，首先通过函数关系式恒等变形，进一步求出函数的值．

解答： 解：（I）f（x）=sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）
=sin

π

3

cos2x+cos

π

3

sin2x+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）．
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，（k∈Z）．
所以：函数的单调递增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；                    
（II）根据f（x）=2sin(2x+

π

3

)，
所以：f(

α

2

-

π

6

)=

6

5

，
解得：2sinα=

6

5

，
sinα=

3

5

，
由于α∈(

π

2

，π)，
所以：cosα=-

4

5

．
tanα=-

3

4

，
tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

24

7

，
所以：tan(2α-

π

4

)=

tan2α-tan π 4

1+tan2αtan π 4

=

31

17

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调区间，利用三角函数的定义域求三角函数的值，属于基础题型．