Question

已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求一面直线EF与BC所成的夹角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF，四边形AEFQ为平行四边形，由此能证明EF∥面PAD．
（2）由CD⊥AD，CD⊥PA，得CD⊥面PAD，由EF∥AQ，得EF⊥CD．
（3）由已知得△PAD为等腰直角三角形AQ⊥PD，∠QAD=45°，由此能求出EF与BC所成角为45°．

解答： （1）证明：取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF，
∴四边形AEFQ为平行四边形，∴EF∥AQ，
又∵AQ?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥面PAD．
（2）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥面PAD，又∵AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ
∵EF∥AQ，∴EF⊥CD．
（3）解：∵PA=AD，PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形
∴AQ⊥PD，
∴∠QAD=45°
又∵AQ∥EF，AD∥BC，
∴EF与BC所成角为45°．

点评：本题考查线面平行，线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，是中档题．