Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1，c=

1

2

时，解不等式f（x）＜0；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知便知，c是f（x）=0的一个根，而由a=1，c=

1

2

，便容易求得方程f（x）=0的另一个根为1，所以根据一元二次不等式的解法便可得到f（x）＜0的解；
（2）容易根据已知条件求出f（x）另一个根为

1

a

，所以根据三角形的面积为8并结合图形即可得到(

1

a

-c)c=16，所以根据基本不等式即可求得a的取值范围；
（3）先求出c=1，由图象便知f（x）在[0，1]上的最大值为1，所以得到1≤m²-2km+1对于k∈[-1，1]恒成立，即-2mk+m²≥0恒成立．通过讨论m的取值，并根据一次函数的单调性即可求出关于k的函数-2mk+m²在[-1，1]上的最小值，根据该最小值大于等于0即可求出m的范围．

解答： 解：（1）由已知条件知c是f（x）=0的一个根；
a=1，c=

1

2

时，f（x）=x2+bx+

1

2

，设f（x）=0的另一个根为x₀；
则：

1

2

•x0=

1

2

，x₀=1；
∴

1

2

，1是方程f（x）=0的两个根；
∴f（x）＜0的解为（

1

2

，1）；
（2）f（x）的图象如图所示，
设f（x）=0的另一个根为x₀，则：
c•x0=

c

a

；
∴x0=

1

a

；
∴根据（2）的条件便有，

1

2

(

1

a

-c)c=8；
∴(

1

a

-c)c=16；
∴16≤(

1

a

-c+c)2；
即a2≤

1

16

，a＞0；
∴0＜a＜

1

4

；
∴a的取值范围为（0，

1

4

）；
（3）f（0）=1，∴c=1；
∴由上图知f（x）在[0，c]的最大值为1；
由题意：1≤m²-2km+1，即-2mk+m²≥0对于任意的k∈[-1，1]恒成立；
①若m＜0，则-2mk+m²在k∈[-1，1]上的最小值为m²+2m；
∴m²+2m≥0，解得m≤-2，或m≥0（舍去）；
②若m=0显然满足题意；
③若m＞0，则-2mk+m²在k∈[-1，1]上的最小值为m²-2m；
∴m²-2m≥0，解得m≥2，或m≤0（舍去）；
综上得实数m的取值为{m|m≤-2，m=0，或m≥2}．

点评：考查韦达定理，一元二次不等式的解法，以及三角形面积公式，基本不等式，根据图象求二次函数的最大值，以及一次函数的单调性．