Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；
（Ⅲ）当a=-1时，试判断函数g（x）=f（x）+

lnx

x

在其定义域内的零点的个数．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的最值及其几何意义,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，求出函数的导数，通过函数的单调性求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）通过①当a≤0时，②当a∈（0，e]时，③当a＞e时，通过x∈（0，e利用导函数的符号，判断函数的单调性，通过函数的最值，推出a符合题意的值即可；
（Ⅲ）当a=-1时，求出函数g(x)=f(x)+

lnx

x

的定义域，函数的导数求出函数的最值与0比较，判断在其定义域内的零点的个数即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx，(x＞0)，f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）_min=f（1）=1．

（Ⅱ）因为f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．
②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；
③当a＞e时，x∈（0，e]，
∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f(x)min=f(e)=

a

e

+1=2，
∴a=e，不符合题意；
综上所述，a=e时符合题意．

（Ⅲ）证明当a=-1时，函数g(x)=-

1

x

+lnx+

lnx

x

，
g′(x)=

1

x2

+

1

x

+

1-lnx

x2

=

2+x-lnx

x2

，
令φ（x）=2+x-lnx，（x＞0），则φ′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以，φ（x）_min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，
又g（1）=-1＜0，而g(e)=-

1

e

+1+

1

e

=1＞0，
因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，
所以函数g(x)=f(x)+

lnx

x

在其定义域内有唯一的零点．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查分析问题解决问题的能力．