Question

动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F的直线交曲线C所得的弦长为36，求这条直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得：曲线C为抛物线：y²=4x．
（2）设直线的方程为y=k（x-1），（k≠0），与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0．可得根与系数的关系，利用焦点弦长公式|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，解出即可．

解答： 解：（1）由题意可得：曲线C为抛物线：y²=4x．
（2）设直线的方程为y=k（x-1），（k≠0），与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) y2=4x

，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
∴|AB|=x₁+x₂+2=2+

4

k2

+2=36，
解得k=±

2

4

．
故所求的直线方程为y=±

2

4

（x-1）．

点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．