Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴端点分别为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（I）求椭圆的方程；
（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足

MD

•

CD

=0，连结CM交椭圆于P，证明

OM

•

OP

为定值（O为坐标原点）；
（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题知2b=2c=2

2

，b=c=

2

，a²=b²+c²，即可得出．
（II）由（1）知C（-2，0），D（2，0），可设l_CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁），由MD⊥CD，可得M（2，4k），与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，利用根与系数的关系可得P(

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)．再利用数量积运算即可得出．
（III）设Q：（x₀，0）且x₀≠-2．由题知MQ⊥DP，利用

QM

•

DP

=0解出即可．

解答： （I）解：由题知2b=2c=2

2

，
∴b=c=

2

，a²=b²+c²=4，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）证明：由（1）知C（-2，0），D（2，0），
可设l_CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁），
∵MD⊥CD，∴M（2，4k），
联立

y=k(x+2) x2+2y2=4

，化为（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴-2x₁=

8k2-4

1+2k2

，
∴x₁=

2-4k2

1+2k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+2k2

，即P(

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)．
∴

OM

•

OP

=2•

2-4k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=

4(1+2k2)

1+2k2

=4．
（III）解：设Q：（x₀，0）且x₀≠-2．
由题知MQ⊥DP，∴

QM

•

DP

=0成立，
由

DP

•

QM

=(2-x0)•

-8k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=0，
化为

8k2

1+2k2

•x0=0，解得x₀=0．
∴存在Q：（0，0）使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、正方形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．