Question

已知△PAB的两个顶点A，B分别为双曲线

x2

5

-

y2

4

=1的左、右焦点，且PA，PB所在直线斜率之积为k（k≠0），试探求顶点P的轨迹．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,轨迹方程

专题：计算题,分类讨论,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出顶点P的坐标，由PA，PB所在直线的斜率之积等于k（k≠0），列式整理得到顶点P的轨迹的方程，然后分k的不同取值范围判断轨迹为何种曲线．

解答： 解：双曲线

x2

5

-

y2

4

=1的c=

5+4

=3，
则A（-3，0），B（3，0）．
设点P的坐标为（x，y），由已知，得
直线PA的斜率k_PA=

y

x+3

，
直线PB的斜率k_PB=

y

x-3

，
由题意得k_PA•k_PB=k，所以

y

x+3

•

y

x-3

=k，
即

x2

9

-

y2

9k

=1（x≠±3），
当k＜0时，点P的轨迹是椭圆（k≠-1），或者圆（k=-1），
并除去两点（-3，0），（3，0）；
当k＞0时，点P的轨迹是双曲线，并除去两点（-3，0），（3，0）．

点评：本题考查了双曲线的方程和性质，考查与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．