Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ） 当BE=2，是否在折叠后的AD上存在一点P，且

AP

=λ

PD

，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ） 设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱锥的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（ I ）假设存在点P，使得CP∥平面ABEF，在平面EFDC内过点C作CM∥EF交DF于M，在平面ADF内作直线MP∥AF交AD于点P，连接PC，证明平面ABEF∥平面PCM，即可得出结论．
（Ⅱ）根据平面ABEF⊥平面EFDC，BE=x，可得AF=x （0＜x≤4），FD=6-x，代入V_A-CDF计算公式，再利用基本不等式求得V_A-CDF的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）假设存在点P，使得CP∥平面ABEF，在平面EFDC内过点C作CM∥EF交DF于M，在平面ADF内作直线MP∥AF交AD于点P，连接PC，则
∵CM∥EF，EF?平面ABEF，CM?平面ABEF
∴CM∥平面ABEF…（4分）
∵PM∥AF，AF?平面ABEF，PM?平面ABEF
∴PM∥平面ABEF…（5分）
又∵CM∩PM=M
∴平面ABEF∥平面PCM…（6分）
又∵PC?平面PCM
∴PC∥平面ABEF，故点P就是所求的点…（7分）
又∵FM=4，MD=2
∴λ=

AP

PD

=2…（8分）
（Ⅱ）因为平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，又AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC…（10分）
由已知BE=x，所以AF=x（0＜x＜6），则FD=8-x．
∴VA-CDF=

1

3

•

1

2

•2•(8-x)•x…（12分）
故VA-CDF=

1

3

•

1

2

•2•(8-x)•x≤

1

3

(

8-x+x

2

)2=

16

3

当且仅当8-x=x，即x=4时，等号成立
所以，当x=4时，V_A-CDF有最大值，最大值为

16

3

…（14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，求三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．