Question

已知函数f（x）=

[sinx+cos(π+x)]•cos( π 2 -2x)

sinx

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）由sinx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z，可得f（x）的定义域．利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，可得f（x）的最小正周期．．
（II）由f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的单调递减区间．

解答： 解：（I）由sinx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z，∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．
由于函数f（x）=

[sinx+cos(π+x)]•cos( π 2 -2x)

sinx

=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）：由f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得：kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，可得函数的单调递减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．