题目内容
设函数f（x）=
x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．
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（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理
专题：导数的综合应用
分析：（I）先求出f′（x），分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别求出f（x）的极大值，极小值，由题设知
或
，解出即可．
（Ⅱ）分别求出f（x）的极大值，极小值，由题设知
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解答：
解：（I）f′（x）=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，f′（x）＞0?x＜2或x＞2a；
f′（x）＜0?2＜x＜2a；
综上知，当a＞1时，f（x）的递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞），递增区间为（2，2a）．
（II）由（I）知，当x=2时，f（x）取得极大值f(2)=28a-
．
当x=2a时，f（x）取得极小值f(2a)=-
a3+4a2+24a．
由题设知
或
解得 1＜a＜6，故a的取值范围是（1，6）．
由a＞1知，f′（x）＞0?x＜2或x＞2a；
f′（x）＜0?2＜x＜2a；
综上知，当a＞1时，f（x）的递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞），递增区间为（2，2a）．
（II）由（I）知，当x=2时，f（x）取得极大值f(2)=28a-
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当x=2a时，f（x）取得极小值f(2a)=-
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由题设知
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解得 1＜a＜6，故a的取值范围是（1，6）．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知sinα=
，α∈（
，π），则cosα的值为（ ）
| 3 |
| 5 |
| π |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
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若lna＜0，(
)b＞1，则（ ）
| 1 |
| 3 |
| A、a＞1，b＞0 |
| B、0＜a＜1，b＞0 |
| C、a＞1，b＜0 |
| D、0＜a＜1，b＜0 |
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．