题目内容
设A、B为椭圆
+
=1上任意两点，O为坐标原点，则“OA⊥OB”是“O到直线AB的距离为
”的（ ）
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
| 12 |
| 5 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分又不必要条件 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线BA的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立可得（9+16k2）x2+32kmx+16m2-144=0，△＞0，由于OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，利用根与系数的关系可得25m2=144（1+k2）．O到直线AB的距离为
?
=
?25m2=144（1+k2）．当直线BA的斜率不存在时也成立．
即可得出．
| 12 |
| 5 |
| |m| | ||
|
| 12 |
| 5 |
即可得出．
解答：
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线BA的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立
，化为（9+16k2）x2+32kmx+16m2-144=0，
△＞0，
∴x1+x2=
，x1x2=
．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，
∴
+
+m2=0，
化为25m2=144（1+k2）．
O到直线AB的距离为
?
=
?25m2=144（1+k2）．
当直线BA的斜率不存在时也成立．
因此“OA⊥OB”是“O到直线AB的距离为
”的充要条件．
故选：C．
当直线BA的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立
|
△＞0，
∴x1+x2=
| -32km |
| 9+16k2 |
| 16m2-144 |
| 9+16k2 |
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，
∴
| (1+k2)(16m2-144) |
| 9+16k2 |
| -32k2m2 |
| 9+16k2 |
化为25m2=144（1+k2）．
O到直线AB的距离为
| 12 |
| 5 |
| |m| | ||
|
| 12 |
| 5 |
当直线BA的斜率不存在时也成立．
因此“OA⊥OB”是“O到直线AB的距离为
| 12 |
| 5 |
故选：C．
点评：本题考查了直线与椭圆相交问题=转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（ ）
| A、A1C1与B1C成60°角 |
| B、D1C1⊥AB |
| C、AC1与DC成45°角 |
| D、A1C1⊥AD |
在等差数列{an}中，a1=-8，它的前16项的平均值为7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值是
，则抽取的是（ ）
| 36 |
| 5 |
| A、第7项 | B、第8项 |
| C、第15项 | D、第16项 |
双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称.
=
，则此双曲线的方程是（ ）
| c |
| a |
| 5 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
在直线y=2x+1上有一点P，过点P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线与圆x2+y2-2x=0有公共点，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
| A、（-∞，-1）∪（1，+∞） | ||||
| B、（-1，1） | ||||
C、[-
| ||||
D、（-
|